Question

高中图形题

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Answer 1

15、证明：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1
∴C1A1=CA=√3，
∵AA1=√6，M是CC1中点
∴C1M=√6/2
∴C1A1/AA1=C1M/C1A1=√2/2，即tan∠AC1A1=tan∠MA1C1=1
∴∠AC1A1=∠MA1C1=45°
∴A1M⊥AC1
又∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1，CC1∩A1C1=C1
∴B1C1⊥面AA1C1C
∴AC,1为AB1在面AA1C1C内的射影
∴AB1⊥A1M
又∵A1M⊥AC1
∴A1M⊥平面AB1C1

16、（1）证明：连接A1C1、DC1、A1D、PQ，
由题意得：Q为A1C1的中点
∴PQ∥DC1，PQ=1/2DC1
∴PQ∥平面AA1B1B

（2）∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1
∴DC1=√2
∴PQ=1/2DC1=√2/2

17、解：（1）ABCD面积S =1/2 (BC+AD)·AB=3/4
∴ 四棱锥S-ABCD的体积V= 1/3×SA×S ABCD=1/4

（2）延 长BA，CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱，
∵ AD//BC，BC=2AD
∴ EA=AB=SA，∴ SE⊥SB
∵ SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线
又BC⊥EB，∴ BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影
∴ CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角
∵ SB=√2，BC=1，BC⊥SB
∴ tan∠BSC=√2/2
即所求二面角的正切值为 √2/2

18、证明：（1）设AC的中点为F，则MF∥EC，MF=1/2EC
∵BD∥CE，BD=1/2EC
∴MF∥DB，MF=DB，故BDMF为矩形
∴BF∥DM
又∵DM⊄平面ABC，BF⊂平面ABC
∴DM∥平面ABC

（2）取AC中点N，连接MN、NB，∵N是EA的中点，
∴MN= 1/2EC．由BD= 1/2EC
则根据三角形中位线定理得四边形MNBD是平行四边形
∵BD⊥平面ABC
∴MNBD是矩形
∴BN⊥MN
∵△ABC为正三角形，N为AC中点
∴BN⊥AC
∵AC、MN是平面AEC内的相交直线
∴BN⊥平面ECA
∵DM∥BN
∴DM⊥平面ECA
又∵CM⊂平面ECA
∴CM⊥DM
∵EC⊥面ABC，CE=CA
∴△ACE为等腰直角三角形
∵M为AE中点
∴CM⊥AE
∵AE、DM是平面AEC内的相交直线, CM⊥DM, CM⊥AE
∴CM⊥平面ADE
又∵AD⊂平面ADE
所以CM⊥AD

（3）∵DM⊥平面ECA，DM⊂平面DEA
∴平面DEA⊥平面ECA

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