Question

两道高数题，谢谢了。

两道高数题，谢谢了，最好有过程。

Answer 1

第一题，用极坐标即可。
第二题，若，已知的积分为I，原积分为I1，交换积分顺序得到I2=I1,积分区域变为（0,1）（0,y）
注意x,y是对称的，即x换成y,y换成x，积分是不变的。
也就是说，I2积分区域变为（0,1）（0，x）,且相应的x,y互调。
于是2I1=I1+I2=I3,其中I3的积分区域为（0,1）（0,1），实现了x,y分离
所以2I1=I的平方=4，
所以所求积分I1=4/2=2

Answer 2

通过极坐标变换∫∫部分=2π∫rf(r/2)dr=8π∫rf(r)dr (0≤r≤t)
两边求导：f'(t)=8πte^(4πt^2)+8πtf(t),f(0)=1
解这个微分方程：f(t)=e^(4πt^2）{4πt^2+1}
2、设F(x)=∫f(t)dt [0≤t≤x] F(x）是f(x)的一个原函数,且F(1)=2 F(0)= 0
I=[4x|0≤x≤1}-{F(x）}^2/2|0≤x≤1=2