Question

设a1,a2,a3是n维向量,a1+a2,a2+a3,a3+a1无线相关,证明a1.a2,a3也无线相关

求解答过程！！

Answer 1

解：可以用反证法来做。

假设a1，a2，a3线性相关
则a3可以用a1和a2来表示
不妨设：a3=ma1+na2
则a2+a3=ma1+(n+1)a2
a1+a3=(m+1)a1+na2
然后尝试用（a1+a2）和（a1+a3）来表示（a2+a3）

设（a2+a3）=p（a1+a2）+q（a1+a3）
则 ma1+(n+1)a2=[p+(m+1)q]a1+(p+nq)a2

比较系数得：p+(m+1)q=m
p+nq=n+1
解得：p=(m+n+1)/(m-n+1)
q=(m-n-1)/(m-n+1)
∴（a2+a3）= (m+n+1)/(m-n+1)× (a1+a2) +[(m-n-1)/(m-n+1)] × (a1+a3)
说明（a1+a2）（a1+a3）（a2+a3）线性相关

所以，当（a1+a2）（a1+a3）（a2+a3）线性无关时，a1，a2，a3也必定线性无关

追问

用（a2+a3)表示（a1+a2)和(a1+a3)不就表示他们是相关的了吗

追答

我的思路是 ：当a1，a2，a3线性相关时，必然能推出（a1+a2）（a1+a3）（a2+a3）线性相关，

所以当（a1+a2）（a1+a3）（a2+a3）线性无关时，a1，a2，a3也必定线性无关

就是原命题和它的逆否命题等价。原命题不好证明，就证明它的逆否命题。

追问

但是题目中已经给出了已知是无关的哦，这样假设的话不就不成立了吗

追答

对啊。本来就是反证法嘛。

先假设一个和结论相反的条件。然后推导出来的结果与已知条件矛盾。因此假设不成立，所以原来的结论是正确的。

如果还是不明白的话，可以去看一下有关反证法的知识。

追问

但是题目中已经知道了a1+a2,a2+a3,a3+a1是无关的 你后面还能够假设他们是相关的吗 这个我不是很了解哦 之前没有见过有这样的哦 麻烦你再帮我解释解释哦

追答

我假设的是a1，a2，a3线性相关啊

然后用a1，a2，a3线性相关这个条件推导出a1+a2,a2+a3,a3+a1线性相关，与题目矛盾。

所以a1，a2，a3线性相关的假设不成立，因此a1，a2，a3无关

追问

但是你假设a2+a3=p(a1+a2)+q(a1a3)不就是说明他们相关吗？如果无关的话这个等式成立吗？（我看定义是这样理解的）

追答

这个只是一种尝试啊。
如果线性相关，那么就能求出p和q的值；如果线性无关，p和q自然就不能求出来啦。
所以a1+a2,a2+a3,a3+a1是否线性相关，跟我的假设没有关系，只跟a1，a2，a3是否线性相关有关。

还有 这本来就是反证法，我很奇怪明明题目都涉及到n维向量了，为什么会不明白反证法。

追问

好的，谢谢哈！

追答

如果没问题了，能不能麻烦采纳一下^_^