Question

证明：p的平方＋q的平方≤2，则p＋q≤2.

Answer 1

你好！
解：
因为：p^2＋q^2≤2(1式)
又因为：(p-q）^2=p^2＋q^2-2pq>=0
所以p^2＋q^2>=2pq,推出2pq<=p^2＋q^2（2式）
所以：1式+2式得
p^2＋q^2+2pq<=2+p^2＋q^2
因为，p^2和q^2都大于等于0
所以：(p+q)^2<=2+p^2＋q^2
当p=1,q=1时。等式成立
p+q<=2

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追问

当p不等于1.q不等于1呢

追答

当p不等于1.q不等于1时，p+q肯定小

p^2＋q^2+2pq<=2+p^2＋q^2
因为，p^2和q^2都大于等于0
所以：(p+q)^2<=2
p+q<2
所以p+q除了它们都等于正负1时等于2，其他情况都小于2

追问

我太笨了，不明白

追答

你并不笨，不等式的题型本来就难懂，别灰心
代入数值讲吧。

p^2＋q^2+2pq<=2+p^2＋q^2
那么(p+q)^2<=2+p^2＋q^2
假设p^2＋q^2=1
你说，(p+q)^2的值是不是小于2？
p+q是不是小于根号2
所以，p+q除了它们都等于正负1时等于2，其他情况都小于2，恒成立

追问

p的平方加q的平方等于1，为什么p＋q的平方小于2

追答

这是个推理，当p^2＋q^2=1，，(p+q)^2<3,既然都小于3，你说它小不小于2？

追问

哦哦

追答

继续看吧，不懂再问，懂了就好评。

追问

我们老师这么说

追答

这是反证法，你刚才看的是正常证明法，都可以啊，你老师这个比较简单，你可以用这个方法来证明

追问

我不知道倒数第二步到底怎么搞得

当p^2＋q^2=1，(p+q)^2<3,既然都小于3，不能推出它小于2啊！