Question

已知抛物线 x^2=4y的焦点为f,经过点f的直线l交抛物线于a b 两点,过A B两点分别做抛物

线的切线，设两切线的交点M
（1）求点M的轨迹方程
（2）求证MF垂直于Ab
（3）设三角形MAB的面积s，求s的最小值及此时L的方程

Answer 1

(1)抛物线C:X^2=4y F(0,1) 设A(X1,Y1) B(X2,Y2) AB所在直线方程为 y=kx + 1因为 y=X^2/4 所以y'=x/2 所以切线AM方程为: y - Y1= X1/2*（x-X1) 得y=X1*x/2-(X1)^2同理可得切线BM方程为 y=X2*x/2-（X2）^2联立两式 消去x 得y=X1*X2/4 所以M点纵坐标为X1*X2/4联立y=kx + 1与X^2=4y 得 x^2 - 4kx -4=0所以 X1*X2=-4 所以M点纵坐标为-1所以M点轨迹为y=-1 (2)由两切线方程消去y得 M点横坐标为（X1+X2)/2=2k所以MF的斜率为（1-（-1））/（0-2k)=-1/k所以MF与AB垂直 （3）MF=根号下（k^2+1) * 2 AB=根号下（k^2+1) * 4 * （k^2+1) S=1/2 * MF * AB =4 * （k^2+1) * （k^2+1) 所以 k=0 时 S有最小值4