Question

初三数学题求解啊！！！学霸看过来~

如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1。运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）

求学霸解答！要主要的步骤详解，能让我看得懂的！

Answer 1

解： 如上图，取AB中点E连接OE、DE，

       OE是直角三角形AOB斜边上的中线，

        所以OE=1/2 AB。

        因此OE长为定值1.

        DE是直角三角形DAE的斜边，

        故，DE长也是定值√2。

        在运动过程中，始终有OE+DE>OD(三角形ODE两边之和大于第三边)；

        但只有一种特殊情况，即

        点E与OD和AB的交点重合，也就是点O、E、D三点一线时，

        OE+DE=OD

        此时，OD有最大值=√2+1

        故，选A

Answer 2

以ON为x轴，OM为y轴建立坐标系，
设A为(0，m)，B为(n，0)，
kab=-m/n
——》kad=-1/kab=n/m，
——》Lad的方程为：y-m=nx/m，
——》yd=m+nxd/m，
AB=2=√(m^2+n^2)
AD=1=√[(xd-0)^2+(yd-ya)^2]=xd*√(1+n^2/m^2)，
——》xd=m/√(m^2+n^2)=m/2，
——》yd=m+n/2，
——》OD^2=(xd^2+yd^2)
=m^2/4+m^2+mn+n^2/4
=m^2+mn+1
=m^2+m√(4-m^2)+1=t，
——》dt/dm=2m+(4-2m^2)/√(4-m^2)=0，
——》m^2-2=m√(4-m^2)
——》m^4-4m^2+2=0，
——》m^2=2+-√2，
——》n^2=2-+√2，
——》mn=√2，
——》tmax=2+√2+√2+1=3+2√2=(√2+1)^2，
——》ODmax=√2+1，
答案选A。

追问

果真是学霸……kad,Lad,tmax……可是本人初三、智商不够，看不懂啊……

Answer 3

解：连接DO，过D点作OM的垂线，交OM于E点。
设角OAB为X度，根据相似三角形，可以较容易地证明直角三角形AOB与直角三角形OED相似。
所以，角EOD=角OAB=X
sinX=OB/AB=ED/OD
从题意可知：随着A、B点在OM、ON上运动，角X的运动范围是从0度到90度。
那么，sinX的值从0到1在变化，最小值是0，最大值是1。
sinX=ED/OD，如果OD为最大值，那么sinX就是取最小值，也就是sinX=0
所以，X为零度时，OD为最大值，此时E点与A点重合。
可以比较容易地求出OD的长度为根号5，也就是选项B为答案。

Answer 4

分析：取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD＜OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=2，BC=1，
∴OE=AE=1/2AB=1，
DE=√AD*AD+AE*AE=√1*1+1*1=√2
∴OD的最大值为√2+1
故选A．