Question

如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，且CF=1/4CD，求证角AEF=90度。

Answer 1

设正方形长长为a，AB=a，E是BC中点，BE=CE=a/2，AE²=AB²+BE²=a²+a²/4=5a²/4
CF=1/4CD，CD=a，CF=a/4，EF²=CF²+CE²=a²/16+a²/4=5a²/16
AD=a，DF=3a/4 ，AF²=AD²+DF²=a²+9a²/16=25a²/16
AE²+EF²=5a²/4+5a²/16=20a²/16+5a²/16=25a²/16=AF²
所以，AEF是直角三角形，角AEF=90度。

Answer 2

因为BE=CE=1/2BC,CF=1/4CD=1/2CE，
所以AB/BE=CE/CF=2，△ABE∽△ECF,
∠AEB=∠CFE=90°-∠CEF
∠AEF=180°-(∠AEB+∠CEF)=90°

Answer 3

CE=1/2AB,CF=1/2BE,角B=角C，所以三角形ABE与三角形ECF相似。所以角AEB=角FEC