Question

一道关于等腰直角三角形的几何题

△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于BC的中点上。（1）设DE与AB交与点M，EF与AC交与点N，求证△BEM∽△CNE。（2）如图，DE与BA的延长线交与点M，EF与AC交于点N，除（1）中的一对相似及两个等腰直角三角形外，能否再找出一对相似三角形，加以证明。

Answer 1

如图所示：

Answer 2

分析：因为此题是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性质：可得锐角为45°，根据角之间的关系，利用如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似可判定三角形相似；再根据性质得到比例线段，有夹角相等证得△ECN∽△MEN．

解答：

证明：

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°
又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°
∴∠NEC+∠MEB=135°
∴∠BME=∠NEC，而∠MBE=∠ECN=45°，
∴△BEM∽△CNE．
（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，
∴ BECN=EMNE．又∵BE=EC，
∴ ECCN=EMNE，
则△ECN与△MEN中有 ECCN=MEEN，
又∠ECN=∠MEN=45°，
∴△ECN∽△MEN．

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．

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追问

第二问的与（1）同理，后面BECN=EMNE是啥意思？？？？

Answer 3

分析：因为此题是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性质：可得锐角为45°，根据角之间的关系，利用如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似可判定三角形相似；再根据性质得到比例线段，有夹角相等证得△ECN∽△MEN．

解答：

证明：

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°
又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°
∴∠NEC+∠MEB=135°
∴∠BME=∠NEC，而∠MBE=∠ECN=45°，
∴△BEM∽△CNE．
（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，
∴ BECN=EMNE．又∵BE=EC，
∴ ECCN=EMNE，
则△ECN与△MEN中有 ECCN=MEEN，
又∠ECN=∠MEN=45°，
∴△ECN∽△MEN．

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．