Question

线性代数中，求二次型的标准型时，运用初等变换法，如果对换行之后是否需要再对换列呢？

Answer 1

B进行再变换是为了化为行最简型。它后来没有用行最简型写对应的方程组，实际上可以说是他解题的一个小失误。这样做的话化为行最简型就失去意义了。
本问题的正解是根据行最简型写出对应的方程组
x1=-2x3+6x5-4
x2=2x3-5x5/2+5/2
x4=3x5-2
这样就可以直接写出方程组的通解来。

Answer 2

行列互换的混用，只有在求行列式的时候才可以。例如求秩，求行列式的运算。
在其他的运算里边，要么行，要么列。
初等变换法是属于矩阵的变换，矩阵是不能行列混用的。

Answer 3

行列互换的混用，只有在求行列式的时候才可以。例如求秩，求行列式的运算。
在其他的运算里边，要么行，要么列。
初等变换法是属于矩阵的变换，矩阵是不能行列混用的。

追问

哦…好的，谢谢~

Answer 4

一般情况下，对矩阵的初等变换不要行和列同时进行。
我就犯过这个错误。

追问

不不，二次型对应的是对称矩阵，在变化行之后必须要进行对应的列变换，可是对于是否兑换也遵循，不太清楚

追答

我糊涂了，不过二次型化标准型有初等变换法吗，我就知道一个配方法和正交变换法，配方法不是很了解，正交变换法没有在矩阵的变换上有多大计算量吧

追问

真的有……我们讲了三种方法~另一种就是初等变换法

追答

e、、那就不会了，你再想想吧==

追问

嗯嗯…

Answer 5

二次型xTAx必存在坐标变换x = Cy 化其为标准形yTBy。即实对称矩阵A必存在可逆矩阵C使其与对角矩阵B合同，亦即CTAC=B。
如果选择正交变换，即C是正交矩阵，那么
B=CTAC=C-1AC
说明在正交变换下，A不仅与B合同而且A与B相似，因此B就是A的特征值。
另一方面，在二次型yTBy中，B就是标准形平方项的系数。
因此，二次型xTAx经过正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值。

我们得到一个结论：
因为AB相似，B的对角线元素就是A的特征值。
所以 B的对角线元素之和 等于A的对角线元素之和
| A |就等于B的对角线元素之积