Question

已知焦点在y轴上的椭圆y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0) 的上焦点F1(0,1),M

(3,3)在椭圆外,P在,P点在椭圆上变化时，|PM|-|PF1|最小值为1.
（1）求椭圆的方程
（2）O是原点，A,B在椭圆上变化，且OA与OB垂直，求三角形OAB面积的取值范围。

Answer 1

∵|PM|-|PF1|≥1，可知P点为经过F1和M点的直线与椭圆的焦点时为最小值1
∴得直线方程为y=2/3x+1
∴椭圆方程为
y^2/4+x^2=1
不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),0<=x1,0<=x2,则x1^2/4+y1^2=1,y1^2=1-x1^2/4,①x2^2/4+y2^2=1,y2^2=1-x2^2/4②x1x2+y1y2=0,①*②，（x1x2)^2=(y1y2)^2=1-(x1^2+x2^2)/4+(x1x2)^2/16,∴（x1^2+x2^2)/4=1-15(x1x2)^2/16,③x1x2/2<=1-15(x1x2)^2/16,15(x1x2)^2+8x1x2-16<=0,0<=x1x2<=4/5,④S△OAB=(1/2)√[(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)]=(1/2)√[(1+3x1^2/4)(1+3x2^2/4)]=(1/2)√[1+3(x1^2+x2^2)/4+9(x1x2)^2/16]=(1/2)√[4-9(x1x2)^2/4],（由③）由④，当x1x2=0时S取最大值1，当x1x2=4/5时S取最小值4/5.