已知二次函数y=x*+2mx+2,当x大于2时,y的值随x的增大而增大,求m的取值范围
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已知二次函数y=x^2+2mx+2,当x>2时,y的值随x的增大而增大,求m的取值范围。
因为二次项系数为1>0,所以当x>(-2m)/2=-m时,y随着x的增大而增大
所以,当-m≤2<x时,y随着x的增大而增大
所以m≥-2
设对任意x1>2、x2>2,如果2<x1<x2,必定有f(x1)<f(x2),
即(x1)^2+2mx1+2<(x2)^2+2mx2+2,亦即
0<[(x1)^2+2mx1+2]-[(x2)^2+2mx2+2]=(x1+x2)(x1-x2)+2m(x1-x2)=(x1-x2)[(x1+x2)+2m]
因为x1-x2<0,所以(x1+x2)+2m>0,亦即x1+x2>-2m对一切2<x1<x2成立,
所以-m≤2
所以m≥-2
因为二次项系数为1>0,所以当x>(-2m)/2=-m时,y随着x的增大而增大
所以,当-m≤2<x时,y随着x的增大而增大
所以m≥-2
设对任意x1>2、x2>2,如果2<x1<x2,必定有f(x1)<f(x2),
即(x1)^2+2mx1+2<(x2)^2+2mx2+2,亦即
0<[(x1)^2+2mx1+2]-[(x2)^2+2mx2+2]=(x1+x2)(x1-x2)+2m(x1-x2)=(x1-x2)[(x1+x2)+2m]
因为x1-x2<0,所以(x1+x2)+2m>0,亦即x1+x2>-2m对一切2<x1<x2成立,
所以-m≤2
所以m≥-2
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