Question

如图1,在三角形ABC中,AB=AC,点D为BC的中点,点E在AD上,(1)求证：BE=CE.（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F

且BF垂直于AC,垂足为F,角BAC=45°，原题设其他条件不变，求证：三角形AEF全等于三角形BCF

Answer 1

(1)
∵AB=AC,D是BC中点
∴AD⊥BC，BD=CD
∴△BDE≌△CDE
∴BE=CE

（2）
∵BF⊥AC,
∴∠BFC=∠AEF=90°
又∵∠BAC=45°
∴△ABF是等腰三角形 AF＝BF
∵∠C+∠CBF=90°
∠C+∠EAF=90°
∴∠CBF=∠EAF
∴△AEF≌△BCF（ASA)

Answer 2

（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=CE；
（2）判断出△ABF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AF=BF，根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角角边”证明△AEF和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
解答：（1）证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=CE；

（2）证明：∵BF⊥AC，∠BAC=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，

∠EAF＝∠CBF
∠AFE＝∠BFC
AF＝BF

，
∴△AEF≌△BCF（AAS），
∴AE=BC．

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