Question

【基本不等式】已知x,y为正实数,且x²+y²/2=1,求x√1+y²的最大值。

已知x,y为正实数,且x²+y²/2=1,求x√1+y²的最大值。

Answer 1

用均值不等式
x√(1+y²)
=√[x²(1+y²)]

x²+y²/2=1
x²+(y²+1)/2=3/2
x²+(y²+1)/2≥2√[x²(y²+1)/2]
3/2≥2√[x²(y²+1)/2]
3/4≥√[x²(y²+1)/2]
3√2/4≥√[x²(1+y²)]
∴x√(1+y²)最大值=3√2/4
当且仅当x²=(y²+1)/2时取等
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