Question

有关概率论与数理统计的一个小问题

某人有两个孩子，已经知道其中一个是儿子在星期二出生，问这人有两个儿子的概率是多少。

1. 50%
2. 13/27

3. 其他
我觉得这个答案很简单，但是有人不信，
请大达人，最好是数学教师来解答下。
回答者请说明职业，否则不予采纳，谢谢
需要说明的是，为了不影响公正，我不说我自己的选择是啥。
就是50%和13/27的辩论。

我自己已经懒得去辩驳了，求达人辨证和反驳另外一个结论的过程，并且注明自己的职业或者专业。

Answer 1

其中一个孩子是男孩且是周2 出生的。这里包含两层条件：“m”至少一个是男孩，“n”至少有个男孩中为周2 出生。m包含n。
如果条件两个都是男孩为“A”
则第一种想法，p(A)=p(B)=1/2
第二种想法，p(A|(m,n))=p(A,m,n)/p(m,n)=p(A,n)/p(n)=13/27
讨论对错，即是对于条件“n”的计算还是“m”的计算。
若有条件“x”至少有个男孩，男孩都不是周2 出生，那么x与n为互斥条件。p(A|(m,x))=p(A,m,x)/p(m,n)=p(A,x)/p(x)=4/11
把问题抽象化，a，b，c 。a、b均(0,1)分布且独立，条件c为p(m)(当a=1 c=1),p(m)(当b=1 c=1), 1-p(m)(当b=1 c=0),1-p(m) (当a=1

c=0),0(其他)。
那么第一种想法的式子：p(a)或p(b) <2>
第二种想法的式子：设：2*p(a)p(b)p(m)(1-p(m))+p(a)p(b)p(m)p(m)=M
p(a)(1-p(b))p(m)+(1-p(a))p(b)p(m)=N
则 概率式为：M/(N+M) 化简为：(2*p(a)p(b)-p(a)p(b)p(m))/(p(a)+p(b)-p(a)p(b)p(m)) <1>
把1/2,1/2,1/7分别代入<1>得到(1/2-(1/4)*(1/7))/(1-(1/4)*(1/7))=13/27
根据<1>,可以发现一个有趣的情况，比如条件变成 其中一个孩子是男孩且是人类。那么p(m)=1
同样代入<1>,得到 1/3 那么就有，已知其中一个是男孩且是人类，这两个都是男孩的概率为1/3。已知其中一个是男孩，这两个孩子都是男孩的概率为1/2。再比如条件变成 其中一个孩子是男孩且是火星人。那么p(m)=0，同样代入<1>,那么就有，已知其中一个是男孩且是火星人

，这两个都是男孩的概率为1/2。呵呵，这也是为什么第二种想法的人认为第一种想法是错误的原因了。
那么第二种想法是错的么？讨论当p(m)=0 时第一种想法与第二种想法的结果是一样的。我们一般以 "-ln(p(x))"来表示信息量，出现p(m)=0，即信息量无穷大，涵盖了无数可能，那么它作为条件的约束的效果就为0，也就是说得到一个是火星人的信息等于什么都没得到的情况下对条件的约束。<2>总是大于等于<1>的这里不证明了（不复杂）。也就是说任何的关于a，b的信息都对所求概率有约束，信息越多约束越多。当p(m)=1时，<2>为1/3。
本来，担心会很多人走入1/3的误区，因为周2出生在判断中会被认为无关条件忽略，其实这关系整个判断在全域中域的大小和位置。条件概率中是不可以忽略的。这个解释在上文中提到。
至于1/2的答案的人们，对以上解释不满意，我可以解答个问题，已知某人有n个小孩，已知n-1个是男孩，第n个是女孩的概率与是男孩的概率一样么？
不一样的，原因是n个中至少n-1为男孩的概率是(n+1)*2^(-n); n个都是男孩概率2^(-n)， n-1个是男孩一个是女孩的概率n*2^(-n)
那么，已知n-1个是男孩，第n个是女孩与是男孩的概率分别为，n/(n+1),1/(n+1)。这是在条件n-1个是男孩下，条件本身是总体上随机抽取的结果。注意到随机两字，如果条件本身非随机，如前面出生了n-2个男孩，第那个出生为男孩，第n-1个出生的是男孩或女孩的概率，那当然为1/2了，因为在该情况下条件本身概率为1(至少n-1个男孩)，1/2*1=1/2 n个男孩的概率，同样的n-1个男孩一个女孩的概率也是1/2。
那么，答案13/27，应该没有争议了。

Answer 2

学生
这问题根本不用考虑太多 答案就是50% 选第一个