Question

高等数学，第一题，为什么要加个sgn函数？

Answer 1

这是从前面的代换来的。因为x=1/cost，0≦t≦π，且t≠π/2；当0≦t<π/2时cost>0，即x>0；
当π/2<t≦π时cost<0，即x<0.
又√(x²-1)=√[(1/cos²t)-1]=√[(sin²t)/(cos²t)]=(sint)/∣cost∣，这是因为在0≦t≦π时，sint≧0不变号，
故可以不带绝对值符号；而cost要变号，故要带绝对值符号。
在后面的积分中，∫{[√(x²-1)]/x⁴}dx=∫[(sin²tcos²t)/∣cost∣]dt，为了便于积分，在这里他把cost的绝对值符号脱掉，代之以sgnx，得∫sin²tcostdt•sgnx=(1/3)sin³t•sgnx+C，表示这里有个符号选取问题。符号的选取规则就是前面所说的规则。【sgnx叫作符号函数】

Answer 2

Answer 3

加的这个函数实际上就是一个符号函数，代表正负号之意，当x>0是，取正符号，当x<0时，取负符号（和±的意思是一样的）

Answer 4

注意: 根号下的x方-1 等于 sint/|cost|,又因为cost在0到π时是有正负的。
所以要加个sgnx，x又跟cost同号，所以x>0取1 x<0取-1.

Answer 5

去掉根号会有正负号，正负号与x的正负刚好一致，所以要么分别讨论x＞0与x＜0时的情况，要么就是乘以符号函数sgnx