Question

高中数学几何题求解【请给出详细解答过程】

<1>一个倒立圆锥型容器，他的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半径为R的铁球，这是水面恰好与球面相切，问将球取出后圆锥内水面的高度.
<2>在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比。

Answer 1

(1)
解：作轴截面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后，水面高PH＝x
∵AC＝ ，PC＝3r
则以AB为底面直径的圆锥容积为
V圆锥＝
＝
V球＝
球取出后，水面下降到EF，水的体积为
V¬水＝
又V水＝V圆锥－V球，则
解得x＝
答：球取出后，圆锥内水平面高为 。

(2)
设正方体底面对角线长为2a,则正方体棱长为√2a.(√根号)
那么从球心连接到正方体与半球面的接点,就是半球的半径r=√[a^2+(√2a)^2]=√3a. (a^2 a的二次方)
正方体体积为(√2a)^3=2√2a^3;
半球体积为[(4/3)πr^3]/2=(2/3)π·(√3a)^3=2√3πa^3;
∴这个半球的体积与内接正方体的体积之比为[2√3πa^3]/[2√2a^3]=√3π/√2=√6π/2.(π圆周率)

Answer 2

1.V球=(4/3)πR^3
V锥=sh/3=3πR^3
V锥-V球=(5/3)πR^3=πh^3/9
h=(15立方根)R

2.设正方体边长为a,半球的半径为r
r^2=a^2+(a/2)^2=(5/4)a^2
V半球：V正方体=5√5π/12