一道高数题 有关导数

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一笑而过jLNJ1
高粉答主

2013-11-07 · 每个回答都超有意思的
知道大有可为答主
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对f(x)和g(x)=1/x使用柯西中值定理,得f'(η)/(-1/η^2)=[f(b)-f(a)]/(1/b-1/a),再对f(x)使用拉格朗日中值定理,有f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a),将此式代人上式中,整理后即可。
追问
请问怎么知道构造这样的函数呢?
追答
其实就像做英语题靠语感一样,做数学题也要有一定的“题感”,像这种两个中值的证明题,一般都是用两次中值定理的,一次柯西一次拉格朗日,用拉格朗日的目的是消除柯西中值定理中f(b)-f(a)这一项,而柯西中值定理中g(x)的选取也很关键,这里要证的式子里出现了中值的平方,因此考虑1/x求导后可以出现平方项。其实题做多了就自然能看出来。
匿名用户
2013-11-07
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题目欠缺条件,还需要b>a>0或者a<b<0,总之就是区间[a,b]内不能有0。
--------
对f(x)在[a,b]上使用拉格朗日中值定理,存在ξ∈(a,b),使得
f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
对f(x)与1/x^2在[a,b]上使用柯西中值定理,存在η∈(a,b),使得f'(η)/(-1/η^2)=(f(b)-f(a))/(1/b-1/a)。
消去(f(b)-f(1))/(b-a)即得f'(ξ)=η^2f'(η)/ab。
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