Question

一道高数题 有关导数

见图片 谢谢

Answer 1

对f(x)和g(x)=1/x使用柯西中值定理，得f'(η)/(-1/η^2)=[f(b)-f(a)]/(1/b-1/a)，再对f(x)使用拉格朗日中值定理，有f(b)-f(a)=f'(ζ)(b-a)，将此式代人上式中，整理后即可。

追问

请问怎么知道构造这样的函数呢？

追答

其实就像做英语题靠语感一样，做数学题也要有一定的“题感”，像这种两个中值的证明题，一般都是用两次中值定理的，一次柯西一次拉格朗日，用拉格朗日的目的是消除柯西中值定理中f(b)-f(a)这一项，而柯西中值定理中g(x)的选取也很关键，这里要证的式子里出现了中值的平方，因此考虑1/x求导后可以出现平方项。其实题做多了就自然能看出来。

Answer 2

题目欠缺条件，还需要b＞a＞0或者a＜b＜0，总之就是区间[a,b]内不能有0。
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对f(x)在[a,b]上使用拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得
f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
对f(x)与1/x^2在[a,b]上使用柯西中值定理，存在η∈(a,b)，使得f'(η)/(-1/η^2)=(f(b)-f(a))/(1/b-1/a)。
消去(f(b)-f(1))/(b-a)即得f'(ξ)=η^2f'(η)/ab。