Question

已知数列an满足a1＝1，an－a﹙n－1﹚＋2ana﹙n－1﹚＝0,n属于正整数，n＞1

注，﹙n－1﹚,﹙n＋1﹚为a的下角标
⑴求证，数列1／an是等差数列，并求an的通项公式
⑵设bn＝an·an＋1.求证，b1＋b2＋b3＋。。。＋bn＜1／2

Answer 1

an－a﹙n－1﹚＋2ana﹙n－1﹚＝0
同除ana﹙n－1﹚
1/a(n-1)-1/an+2=0
1/an-1/a(n-1)=2
∴1/an是等差数列
公差是2
a1=1
1/a1=1
1/an=1+2(n-1)=2n-1
∴an=1/(2n-1)
(2)
a(n+1)=1/(2n+1)
bn＝an·a(n＋1)
=1/(2n-1)*1/(2n+1)
=1/2*[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
∴b1=1/2*(1-1/3)
b2=1/2*(1/3-1/5)
b3=1/2*(1/5-1/7)
...
bn=1/2*[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
b1＋b2＋b3＋。。。＋bn
=1/2*(1-1/3)+1/2*(1/3-1/5)+1/2*(1/5-1/7)+....1/2*[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2(1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+.....+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2*(1-1/(2n+1))
∵n>=1
∴1-1/(2n+1)<1
∴1/2*(1-1/(2n+1))<1/2
∴b1＋b2＋b3＋。。。＋bn<1/2

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Answer 2