Question

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Answer 1

八种常见的基本数学思想方法的运用韩阿娟
在中学数学中，基本数学思想（函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想）不同于一般的具体的数学解题方法（如数学归纳法、待定系数法、配方法、换元法、消元法、放缩法、判别式法等等），基本数学思想，较之具体的数学解题方法，属于更高次层的范畴，是对数学对象、概念、定理、理论的本质认识，是对数学思维观念的高度概括，是数学的灵魂和生命力。
本文将从四个方面谈谈基本数学思想的运用。
一. 函数的思想
函数是中学数学的重要内容，在自然科学和工程技术中，往往是以函数思想为指导，建立函数关系式，借以解决有关的实际问题。
例1. 如果圆柱轴截面的周长为定值，那么，圆柱体积的最大值是多少？
解：设圆柱的底面半径为r
则高
又

上式当，即时取等号，所以圆柱体积的最大值是。

例2. 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到共n个数据。我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数的差的平方和最小，依此规定，从推出的_______。
解：设

因为，依二次函数的性质知，a就是取得最小值时相应的x值。
所以

二. 数形结合的思想
数和形是数学研究的两类基本对象。数量关系如果能借助于图形性质，可以使许多抽象的概念和关系直观而形象化，有利于探求解题的途径，通常称为以形助数；而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系问题，又可以获得严谨的解法，即所谓以数辅形。这是相辅相成的两个方面，在解题时如能经常考虑数形结合，往往可使解法别开生面。
例3. 如果实数x，y满足等式，那么的最大值是（）
A. B. C. D.
解：在直角坐标系内，方程表示以（2，0）为圆心，为半径的圆，而是该圆上任意点和原点O（0，0）连线的斜率，当该直线与圆相切时，，故选D。

三. 分类讨论的思想（逻辑化分的思想）
分类讨论既是一种逻辑方法，又是一种数学思想，并且是比较活跃的一种思想方法。
例4. 函数的值域是（）
A. B.
C. D.
解：分别按角x的四个象限讨论即可知选B。

例5. 在50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法有多少种？
解；从50件产品中任意抽取5件，含3件次品的有种；含4件次品的有种。
所以至少有3件是次品的抽法种数为。

四. 转化的思想
数学解题常用繁与简的转化，抽象与具体的转化，一般与特殊的转化，正与反的转化，数与形的转化，也就是从不同的角度，不断的改变解题方向，这种思考方法是解题的重要手段，这种思想称为转化的思想。
例6. 设是等差数列，，已知，求等差数列的通项。
解：设等差数列的公差为d，则

所以

由得
所以
将代入已知条件有

得
解得或
则或
从而或
从例6可以看出，求的问题转化为求的问题，又转化为求的问题，从而使问题由繁到简的获得解决。