Question

初二数学，谢谢！

Answer 1

（1）延长FD到点G，使DG＝FD，连接BG
因为，D是BC的中点
所以，BD＝CD
又，DG＝FD
∠BDG＝∠CDF（对顶角）
所以，△BDG≌△CDF
所以，BG＝CF
DG＝DF
∠DBG＝∠C

因为，DG＝DF
所以，点D为GF的中点
因为，ED⊥FD
所以，ED为边FG上的高
由，等腰三角形三线合一可知
△EFG为等腰三角形
所以，EF＝EG

因为，∠A＝90°
所以，∠ABC＋∠C＝90°
则，∠ABC＋∠DBG＝∠ABG＝90°
Rt△EBG中，由勾股定理可得
BE²＋BG²＝EG²
又，BG＝CF，EF＝EG
所以，BE²＋CF²＝EF²

（2）连接AD
因为，△ABC为等腰直角三角形
且，D为BC中点
所以，AD⊥BC，∠ADC＝∠FDC＋∠FDA＝90°
又，∠EDF＝∠EDA＋∠FDA＝90°
所以，∠FDC＝∠EDA

因为，△ABC为等腰直角三角形
所以，∠EAD＝∠C＝45°
因为，直角三角形斜边上的中线＝斜边的一半
所以，AD＝CD
所以，△AED≌△CFD（角边角）
所以，DE＝DF
Rt△DEF为等腰直角三角形
EF²＝2DE²＝2DF²
S△DEF＝(1/2)×DE×DF＝(EF²)/4

由（1）知，BE²＋CF²＝EF²
则，EF²＝12²＋5²＝169
所以，S△DEF＝(EF²)/4＝169/4