Question

线性代数题，求矩阵

希望回答者可以上图，很早以前学的了，完全不记得了。打字的内容总是看的有些别扭，不是很清楚。

Answer 1

|A-λE| =
2-λ -2 0
-2 1-λ -2
0 -2 -λ
r1+(1/2)(2-λ)r2 - r3
0 (1-λ)(2-λ)/2 -2(1-λ)

-2 1-λ -2
0 -2 -λ
第1行提出 (1-λ), 再按第1列展开 = 2 乘
(2-λ)/2 -2
-2 -λ
2乘到第1行上
2-λ -4
-2 -λ
= λ^2 -2λ - 8 = (λ-4)(λ+2)
所以 |A-λE| =(1-λ)(λ-4)(λ+2)
特征值为 1,4,-2
A-E 化成行简化梯矩阵
1 0 1
0 1 1/2
0 0 0
特征向量为: (2,1,-2), 单位化得 a1 = (2/3,1/3,-2/3)'
A-4E 化成行简化梯矩阵
1 0 -2
0 1 2
0 0 0
特征向量为: (2,-2,1), 单位化得 a2 = (2/3,-2/3,1/3)'
A+2E 化成行简化梯矩阵
1 0 -1/2
0 1 -1
0 0 0
特征向量为: (1,2,2), 单位化得 a3 = (1/3,2/3,2/3)'
则 P = (a1,a2,a3) 是正交矩阵, 且有 P^-1AP = diag(1,4,-2)

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Answer 2

一般高等代数课本上都有的，建议查阅。
方法思路：先求出矩阵的特征值和对应的特征向量，再把特征向量单位正交化，再把正交单位化的特征向量组成矩阵即可了。