Question

提取公因式主要分哪几步？

Answer 1

对于多项式a(m+n)+b(m+n)，如果设c=m+n，那么这个式子就变为ac+bc，我们就可以提取公式法因式分解了． 例1 2a(b+c)-3(b+c)分解因式． 分析：这个多项式中的b+c是二项式，如果设b+c=m，则原式可变为 2a(b+c)-3(b+c)=2am-3m． 这样，就把问题归结为公因式是单项式的因式，可以用提取公因式法进行因式分解了． 解设b+c=m，则 2a(b+c)-3(b+c)=2a·m-3·m=m(2a-3)=(b+c)(2a-3) 指出：在把形如例1的多项式因式分解时，只需把(b+c)看作一个整体，作为公因式提出即可，可以不写出辅助元． (口答)说出下列各多项式中各项的公因式： (1)2m(a-b)-3n(a-b)； (2)(3m-2)x+3(3m-2)y； (3)(y+5)(y-2)-(y+5)； (4)4n(a+b)(a-b)-5(a+b)2； 答：(1)a-b；(2)3m-2；(3)y+5；(4)a+b． 问：多项式m(a-b)-5(b-a)是否有公因式？ 答：如果把多项式的第二项中的(b-a)变为-(a-b)，则多项式就有公因式(a-b)了． 例2 把6(x-2)+x(2-x)分解因式． 分析：(x-2)与(2-x)只差一个符号，如果把2-x变号，即2-x=-(x-2)，原多项式就有公因式(x-2)了． 解6(x-2)+x(2-x)=6·(x-2)-x·(x-2)=(x-2)(6-x)． 问：下列各题中的每两个多项式之间有什么关系？ (1)a+b与-a-b； (2)(a-b)2与(b-a)2； (3)(a-b)3与(b-a)3； (4)(a-b)n与(b-a)n． 答： (1)因为-a-b=-(a+b)，所以a+b与-a-b互为相反数； (2)因为(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2，所以(a-b)2=(b-a)2； (3)因为(b-a)3=[-(a-b)]3，所以(b-a)3=-(a-b)3； (4)当n为偶数时，两式相等；当n为奇数时，两式互为相反数． 例3 把18b(a-b)2-12(a-b)3分解因式． 分析：如果把a-b设为m，则原式变形为18bm2-12m3． 问：这个多项式的公因式是什么？ 答：公因式是6m2． 问：原多项式的公因式是什么？ 答：是6(a-b)2． 解18b(a-b)2-12(a-b)3 =6(a-b)2·3b-6(a-b)2·2(a-b) =6(a-b)2[3b-2(a-b)] =6(a-b)2(3b-2a+2b) =6(a-b)2(5b-2a)． (口答)指出下列各多项式中各项的公因式： (1)3m(x-y)-9m2(y-x)2； (2)10(x-y)2+6(y-x)3； (3)5m(x-y)2-10m2(y-x)2； (4)12a3(m-n)3+10a2(n-m)3． 答： (1)3m(x-y)；(2)2(x-y)2；(3)5m(x-y)2；(4)2a3(m-n)3． 例4 把5(x-y)3+10(y-x)2分解因式． 问：这个多项式两项的系数5与10的公因数是什么？有没有公因式？ 答：5与10的公因数是5；因为(y-x)2=[-(x-y)]2=(x-y)2，所以(x-y)3与(y-x)2的公因式是(x-y)2． 解5(x-y)3+10(y-x)2=5(x-y)3+10(x-y)2=5(x-y)2(x-y+2)． 三、课堂练习 1．把2(x-3)-(x2-3x)分解因式． 2．把(x-y)(x+2y)2-(y-x)2(x+2y)分解因式． 答案： 1． 2(x-3)-(x2-3x) =2(x-3)-x(x-3) =(x-3)(2-x)． 2． (x-y)(x+2y)2-(y-x)2(x+2y) =(x-y)(x+2y)2-(x-y)2(x+2y) =(x-y)(x+2y)[x+2y-(x-y)] =(x-y)(x+2y)[x+2y-x+y] =(x-y)(x+2y)·3y =3y(x-y)(x+2y)． 四、小结 1．在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式． 2．在提取多项式各项的公因式时，对数字系数和因式要分别进行考虑．如果是整数系数，提取它们的最大公约数；如果是分数系数，提取它们分母的最小公倍数；相同的因式应提取次数最低的．