Question

高中数学题

已知f(x)=1/3ax³+1/2bx²+cx+d的图像过原点，且在(-1，f(-1))处的切线与x轴平行。对任意x∈R，都有x≦f'(x)≦1/2(x²+1)
(1)求函数f(x)在点(1,f(-1))处切线的斜率，(2)求f(x)的解析式；

Answer 1

因为与x轴平行，显然有(-1，f(-1))处的切线斜率为0.

因为f(0)=0，所以d=0
又因为f'(-1)=0.所以b=a+c

又因为当x=1时，有x=1/2(x²+1)=1,所以f'(1)=1，得a+b+c=1，又因为b=a+c

所以有b=a+c=1/2

再解x≦f'(x)，将x移到右侧得ax²+（b-1）x+c≥0

再求△令其小于等于0
得a²+c²-2ac≤2（a+c）-1=0(a+c=1/2)
所以(a-c)²=0
a=c
综上所述，有a=1/4,b=1/2,c=1/4,d=0
(若第一问求的是(1,f(1))处的切线斜率的话恐怕得在此时代入f'(x)的解析式算了……)

追问

为什么当x=1时，有1/2(x²+1)=1那部分？

追答

这是我没说清楚……
当一个函数恒小于一个函数A，同时恒大于一个函数B时，可以看看函数A与B有无交点。
因为当X=1时，x=1/2(x²+1)=1，又因为f'(x)夹在两者中间，所以此时必有f'(x)=1

追问

怎么没有听说过这样的说法？

追答

- -你这让我怎么答捏……
首先这证明是没问题的……因为若C≤B≤A，当A=C时有A=B=C……再明显不过了……
其次如果你问的是怎么想到的。首先是做题经验……因为这属于技巧而非解法所以老师不会怎么讲。
真要问怎么来。好也可以……
首先这是一个二次函数A恒大于另一个二次函数B，且显然两个函数二次项系数必为正。
那么必有A的二次系数大于等于B的二次系数。
那么随着x远离A的对称轴，A-B的值总体上只会增加或者不变。这种情况下，如果A与B存在交点，那必然是在对称轴附近。而且通常只有一个。
以上纯属经验。
再结合题意，f(x)是可求出来的，那么就说明它的解析式是唯一的，他的所有可能性必须被掐死在一个点，如果A和B的临界点与B和C的临界点不在一个位置的话，一旦松动就有无数种可能。
所以令A=C，果然有解……就出来了。