Question

已知函数f(x)=x|x-a|-2 (1)若a大于0 求f(x)的单调区间

(1)若a＞0 求f(x)的单调区间
(2)若a＜1 且当x∈[0,1]时恒有f(x)小于0 求a的取值范围

Answer 1

1)a>0,
x>=a时，有f(x)=x(x-a)-2=x^2-ax-2=(x-a/2)^2-2-a^2/4, 开口向上，对称轴为x=a/2, 当x>=a时，单调增；
x<a时，有f(x)=x(a-x)-2=-x^2+ax-2=-(x-a/2)^2-2+a^2/4, 开口向下，对称轴为x=a/2,当x<=a/2时，单调增；当a/2<x<a时，单调减。
综合得f(x)的单调区间为x>=a, 及x<=a/2

2)若a<=0,则在区间[0,1]，f(x)=x(x-a)-2=(x-a/2)^2-2-a^2/4, 最大值为f(1)=-a-1<0,得：a>-1, 故有-1<a<=0符合题意；
若0<a<1, 则在区间[0,1], 0=<x<=1, 0=<|x-a|<=1, 故0=<x|x-a|<=1, f(x)<=1-2=-1<0,符合题意；
综合得a的取值范围是[-1, 1)