Question

用微分中值定理证明方程x5 ＋x一1＝0只有一个正根？速求解

Answer 1

具体回答如下：

令f(x)=x5+x-1

f'(x)=5x^4+1

当x∈[0,＋∞)时，f'(x)恒大于0，f(x)在[0,＋∞)单增

f(1/2)<0

f(1)>0

所以根据介值定理知f(x)在（1/2,1)中间只有一个正根

中值定理的应用：

无穷小（大）量阶的比较时，看到两个无穷小（大）量之比的极限可能存在，也可能不存在。如果存在，其极限值也不尽相同。

解决这种极限的问题通常要用到洛比达法则，这是法则的内容，而在计算时往往都是直接的应用结论，没有注意到定理本身的证明，而这个定理的证明也应用到了中值定理。

Answer 2

方程求导5x^4+1，导数恒正，所以单调递增。

f(0)=-1<0，f(+∞)=+∞>0，所以有且只有一个正根。

此类题的解法：找出要求的x区间（本题是0~+∞）、证明函数在该区间上连续且单调、证明函数在区间左右端点上的值分别位于指定值（本题是0）两侧。即可证明函数在该区间内有且只有一解。

扩展资料

如果函数f(x)满足：

在闭区间[a,b]上连续；

在开区间(a,b)内可导；

在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.

几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明：

弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的。

Answer 3

此类题的解法：找出要求的x区间（本题是0~+∞）、证明函数在该区间上连续且单调、证明函数在区间左右端点上的值分别位于指定值（本题是0）两侧。即可证明函数在该区间内有且只有一解。

方程求导5x^4+1，导数恒正，所以单调递增。

f(0)=-1<0

f(+∞)=+∞>0

所以有且只有一个正根。

扩展资料

需要求出曲线上一点的斜率时，前人往往采用作图法，将该点的切线画出，以切线的斜率作为该点的斜率。然而，画出来的切线是有误差的，也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率 。微分最早就是为了从数学上解决这一问题而产生的。

以y=x2为例，我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率，当△x与△y的值越接近于0，过这两点直线的斜率就越接近所求的斜率m，当△x与△y的值变得无限接近于0时，直线的斜率就是点的斜率。

Answer 4

 

追答

只有一个正根意味着只有一个根大于零，那么如果假设有两个和两个以上的正根，那么在x＞0内必然满足罗尔定理的条件，所以有罗尔定理成立，如果不成立，那么就意味着我们的假设不成立，从而命题得证。

追问

题目是要证明只有一个根

追答

另外，如果题目不明确要求使用微分中值定理证明的话，用函数的单调性来的更快些

你仔细好好看看，我证明的就是只有一个正根

追问

对呀，我知道，用单调性的话分分钟就好了。

追答

最后证明得到的结论就是至多只有一个正根

明白你的意思了

 

刚才没有证明充分性

刚才没有证明充分性

这次应该很完整了

追问

介值定理是什么？

追答

简单说就是单调连续函，如果f(x1)=a，f(x2)=b，则在x1到x2内的函数能够取到介于a与b之间的一切

追问

这些我都知道，我就是无法利用中值定理来解这道题，谢谢你的回答了。

Answer 5

 

追问

是微分中值定理

追答

这是零点定理好吧

追问

斗胆问一下兄弟几年纪？

追答

大三

翻翻书零点定理在不在微分中值那张

追问

我是大一，刚学到中值定理，要用这个定理写这道题。

我们要用到这个定理的，因为是课后习题。