Question

定积分求导，求极限，详细见下图

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• 系统奖励15（财富值+成长值）+难题奖励30（财富值+成长值）

Answer 1

显然F(0)=0
那么使用洛必达法则，得到
lim(x趋于0) F '(x) /4x^3
而
F(x)=∫0到x t f(x²-t²)dt

=0.5 ∫0到x² f(x²-t²)dt²
= -0.5 ∫0到x² f(x²-t²)d(x²-t²)
对x 求导得到
F '(x)= f(x²) *dx²/dx
= -2x *f(x²)
所以
原极限
=lim(x趋于0) F '(x) /4x^3
=lim(x趋于0) -f(x²) /2x² 继续使用洛必达法则
=lim(x趋于0) -f'(x²) *2x /4x
=lim(x趋于0) -f'(x²) /2
= -f '(0) /2 代入f '(0)=1
= -1/2