Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）

如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）当α=60°时，求CE的长；（2）当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE 2 ﹣CF 2 取最大值时，求tan∠DCF的值．

Answer 1

解：（1）∵α=60°，BC=10， ∴sinα= ，即sin60°= = ， 解得CE=5 ； （2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF． 理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G， ∵F为AD的中点，∴AF=FD， 在平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠G=∠DCF，在△AFG和△CFD中， ， ∴△AFG≌△CFD（AAS），∴CF=GF，AG=CD， ∵CE⊥AB，∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴∠AEF=∠G， ∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点， ∴AG=5，AF= AD= BC=5，∴AG=AF，∴∠AFG=∠G， 在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF， 又∵∠CFD=∠AFG（对顶角相等）， ∴∠CFD=∠AEF， ∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF， 因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF； ②设BE=x，∵AG=CD=AB=5， ∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x， 在Rt△BCE中，CE 2 =BC 2 ﹣BE 2 =100﹣x 2 ， 在Rt△CEG中，CG 2 =EG 2 +CE 2 =（10﹣x） 2 +100﹣x 2 =200﹣20x， ∵CF=GF（①中已证）， ∴CF 2 =（ CG） 2 = CF 2 = （200﹣20x）=50﹣5x， ∴CE 2 ﹣CF 2 =100﹣x 2 ﹣50+5x=﹣x 2 +5x+50=﹣（x﹣ ） 2 +50+ ， ∴当x= ，即点E是AB的中点时，CE 2 ﹣CF 2 取最大值， 此时，EG=10﹣x=10﹣ = ，CE= = = ， 所以，tan∠DCF=tan∠G= = = ．