Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[-1，1]时，不

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[-1，1]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．（3）设g（t）=f（2t+a），t∈[-1，1]，求g（t）的最大值．

Answer 1

（1）令f（x）=ax 2 +bx+c（a≠0）代入f（x+1）-f（x）=2x， 得：a（x+1） 2 +b（x+1）+c-（ax 2 +bx+c）=2x，2ax+a+b=2x， ∴ a=1 b=-1 c=1 ， ∴f（x）=x 2 -x+1； （2）当x∈[-1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立即：x 2 -3x+1＞m恒成立； 令 g(x)= x 2 -3x+1=(x- 3 2 ) 2 - 5 4 ， x∈[-1，1]， 则对称轴： x= 3 2 ?[-1，1] ， 则g（x） min =g（1）=-1， ∴m＜-1； （3）g（t）=f（2t+a）=4t 2 +（4a-2）t+a 2 -a+1，t∈[-1，1] 对称轴为： t= 1-2a 4 ， ①当 1-2a 4 ≥0 时，即： a≤ 1 2 ；如图1： g（t） max =g（-1）=4-（4a-2）+a 2 -a+1=a 2 -5a+7 ②当 1-2a 4 ＜0 时，即： a＞ 1 2 ；如图2： g（t） max =g（1）=4+（4a-2）+a 2 -a+1=a 2 +3a+3， 综上所述： g(t ) max = a 2 -5a+7 a 2 +3a+3 a≤ 1 2 a＞ 1 2 ．