Question

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F 1 （一3,0)，一条渐近线的方程是 （1）求双曲线C的方程；（2）若

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F 1 （一3,0)，一条渐近线的方程是 （1）求双曲线C的方程；（2）若以k（k≠0)为斜率的直线 与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，求k的取值范围。





Answer 1

(1)  ；(2)

试题分析：(1)因为中心在原点的双曲线C的一个焦点是F 1 （一3,0)，一条渐近线的方程是 ，两个条件即可求出双曲线的方程. (2)依题意可得通过假设直线 的方程，联立双曲线方程消去y，即可得到一个关于x的二次方程，运用韦达定理以及判别式要大于零，即可写出线段MN的中垂线的直线方程，从而求出直线与两坐标轴的交点，即可表示出所求的三角形的面积，从而得到一个等式结合判别式的关系式，即可得到结论. 试题解析：（1）设双曲线 的方程为 ， 由题设得   解得 ，所以双曲线 的方程为 ； （2）设直线 的方程为 ，点 ， 的坐标满足方程组 ，将①式代入②式，得 ， 整理得 ，此方程有两个不等实根，于是 ， 且 ， 整理得 .③ 由根与系数的关系可知线段 的中点坐标 满足： ， ，从而线段 的垂直平分线的方程为 ，此直线与 轴， 轴的交点坐标分别为 ， ， 由题设可得 ，整理得 ， ， 将上式代入③式得 ，整理得 ， ，解得 或 ， 所以 的取值范围是 ．