已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2.数列{bn}为等比数列,且b1=1,b4=8.(1)求数列{an},{bn}的通项
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2.数列{bn}为等比数列,且b1=1,b4=8.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若数列{cn}满足cn=ab...
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2.数列{bn}为等比数列,且b1=1,b4=8.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)若数列{cn}满足cn=abn,求数列{cn}的前n项和Tn;(3)在(2)的条件下,数列{cn}中是否存在三项,使得这三项成等差数列?若存在,求出此三项;若不存在,说明理由.
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(1)∵数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2,
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
当n=1时,a1=S1=1亦满足上式,
故an=2n-1,(n∈N*).
又数列{bn}为等比数列,设公比为q,
∵b1=1,b4=b1q3=8,∴q=2.
∴bn=2n-1(n∈N*).
(2)cn=abn=2bn?1=2n?1.
Tn=c1+c2+c3+…cn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…2n)-n=
?n.
所以 Tn=2n+1-2-n.
(3)假设数列{cn}中存在三项cm,ck,cl成等差数列,不妨设m<k<l(m,k,l∈N*)
因为 cn=2n-1,
所以 cm<ck<cl,且三者成等差数列.
所以 2ck=cl+cm,
即2(2k-1)=(2m-1)+(2l-1),
变形可得:2?2k=2m+2l=2m(1+2l-m)
所以
=1+2l?m,即2k+1-m=1+2l-m.
所以 2k+1-m-2l-m=1.
因为m<k<l(m,k,l∈N*),
所以 2k+1-m,2l-m均为偶数,而1为奇数,
所以等式不成立.
所以数列{cn}中不存在三项,使得这三项成等差数列.
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
当n=1时,a1=S1=1亦满足上式,
故an=2n-1,(n∈N*).
又数列{bn}为等比数列,设公比为q,
∵b1=1,b4=b1q3=8,∴q=2.
∴bn=2n-1(n∈N*).
(2)cn=abn=2bn?1=2n?1.
Tn=c1+c2+c3+…cn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=(21+22+…2n)-n=
2(1?2n) |
1?2 |
所以 Tn=2n+1-2-n.
(3)假设数列{cn}中存在三项cm,ck,cl成等差数列,不妨设m<k<l(m,k,l∈N*)
因为 cn=2n-1,
所以 cm<ck<cl,且三者成等差数列.
所以 2ck=cl+cm,
即2(2k-1)=(2m-1)+(2l-1),
变形可得:2?2k=2m+2l=2m(1+2l-m)
所以
2k+1 |
2m |
所以 2k+1-m-2l-m=1.
因为m<k<l(m,k,l∈N*),
所以 2k+1-m,2l-m均为偶数,而1为奇数,
所以等式不成立.
所以数列{cn}中不存在三项,使得这三项成等差数列.
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