Question

已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0]时，函数解析式为f（x）=14x-b2x（b∈R）．（1）求b

已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0]时，函数解析式为f（x）=14x-b2x（b∈R）．（1）求b的值，并求出f（x）在[0，1]上的解析式．（2）求f（x）在[-1，1]上的值域．

Answer 1

（1）∵f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，且f（x）在x=0处有意义，
∴f（0）=0，即f（0）=1-b，
∴b=1．
设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]
∴f（-x）=

1

4?x

?

1

2?x

＝4x?2x，
f（x）=2^x-4^x，．
所以f（x）=2^x-4^x在[0，1]上的解析式为f（x）=2^x-4^x，
（2）当x∈[0，1]，f（x）=2^x-4^x=2^x-（2^x）²，
∴设t=2^x（t＞0），则g（t）=-t²+t，
∵x∈[0，1]，t∈[1，2]
当t=1时，最大值为1-1=0，
当t=0时，取最小值-2，
∴函数在[0，1]上取最小值-2，最大值为0，
∵f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，
∴函数在[-1，0]上取最小值0，最大值为2，
所以f（x）在[-1，1]上的值域[-2，2]