Question

设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下B发生的概率为P′，则由A产生B的概率为PP′，根据这一规律解答

设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下B发生的概率为P′，则由A产生B的概率为PP′，根据这一规律解答下题：一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0，1，2，3，…，100，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站（即P0=1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束．已知硬币出现正反面的概率都为12．（1）求P1，P2，P3，并根据棋子跳到第n+1站的情况，试用Pn，Pn-1表示Pn+1；（2）设an=Pn-Pn-1（1≤n≤100），求证：数列{an}是等比数列，并求出{an}的通项公式；（3）求玩该游戏获胜的概率．

Answer 1

（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为P_n，
则P₁即棋子跳到第一站，有一种情况，即掷出正面，故P₁=

1

2

，
P₂即棋子跳到第2站，有2种情况，即两次掷出正面或一次掷出反面，则P2＝

1

2

P0+

1

2

P1＝

3

4

，
P₃即棋子跳到第3站，有2种情况，即在第1站掷出反面，或在第2站掷出正面，则P3＝

1

2

P1+

1

2

P2＝

5

8

故P_n+1即棋子跳到第n站，有2种情况，即在第n-1站掷出反面，或在第n站掷出正面，则Pn+1＝

1

2

Pn+

1

2

Pn?1
（2）由（1）知：Pn+1＝

1

2

Pn+

1

2

Pn?1，
∴Pn+1?Pn＝?

1

2

(Pn?Pn?1)，
∴{P_n-P_n-1}表示等比数列，其公比为?

1

2

又a1＝P1?P0＝?

1

2

，
∴an＝(?

1

2

)n，1≤n≤100；
（3）玩该游戏获胜，即求P₉₉
由（2）知，P_n-P_n-1=(?

1

2

)n（2≤n≤100），
∴P₂-P₁=

1

4

，
P₃-P₂=?

1

8

，…
P_n-P_n-1=(?

1

2

)n（2≤n≤100），
∴P_n-P₁=

1

4

?

1

8

+…+(?

1

2

)n

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