已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）设g（x）=f（x）-ax，若不等式g（x）≥-1对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数
已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）设g（x）=f（x）-ax，若不等式g（x）≥-1对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设0＜x1＜x2，若实数x0满...
已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）设g（x）=f（x）-ax，若不等式g（x）≥-1对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设0＜x1＜x2，若实数x0满足，f（x0）=f(x2)?f(x1)x2?x1，证明：x1＜x0＜x2．
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（I ）解：不等式g（x）≥-1对一切x∈（0，+∞）恒成立，等价于对一切x∈（0，+∞），g（x）min≥-1成立
设g（x）=f（x）-ax，x＞0，则g′（x）=lnx+1-a
令g′（x）＞0，则x＞ea-1，令g′（x）＜0，则0＜x＜ea-1，
∴g（x）min=g（ea-1）=-ea-1≥-1，∴a≤1；
（II）证明：由题意f′（x）=lnx+1，则f′（x0）=lnx0+1，∴lnx0＝
?1
①lnx0?lnx2＝
?lnx2?1=
?lnx2?1=
?1
令
=t，则lnx0?lnx2＝
，t＞1
令u（t）=lnt-t+1，则u′(t)＝
?1＜0，∴u（t）在（1，+∞）上单调递减
∴u（t）＜u（1）=0，∴lnx0＜lnx2，∴x0＜x2；
②lnx0?lnx1＝
?lnx1?1=
设g（x）=f（x）-ax，x＞0，则g′（x）=lnx+1-a
令g′（x）＞0，则x＞ea-1，令g′（x）＜0，则0＜x＜ea-1，
∴g（x）min=g（ea-1）=-ea-1≥-1，∴a≤1；
（II）证明：由题意f′（x）=lnx+1，则f′（x0）=lnx0+1，∴lnx0＝
| f(x2)?f(x1) |
| x2?x1 |
①lnx0?lnx2＝
| f(x2)?f(x1) |
| x2?x1 |
| x2lnx2?x1lnx1 |
| x2?x1 |
ln
| ||
|
令
| x2 |
| x1 |
| lnt?t+1 |
| t?1 |
令u（t）=lnt-t+1，则u′(t)＝
| 1 |
| t |
∴u（t）＜u（1）=0，∴lnx0＜lnx2，∴x0＜x2；
②lnx0?lnx1＝
| f(x2)?f(x1) |
| x2?x1 |
| ||||
|
