Question

已知抛物线y2=4x，过点P（1，1）能否作一条直线与抛物线交于A，B两点，且P为线段AB 的中点？若能．求出直

已知抛物线y2=4x，过点P（1，1）能否作一条直线与抛物线交于A，B两点，且P为线段AB 的中点？若能．求出直线方程，若不能说出理由．

Answer 1

法一：由题意可设直线AB的方程为x-1=k（y-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程

x?1＝k(y?1) y2＝4x

可得y²-4ky+4（k-1）=0
则△=16（k²-k+1）＞0，y₁+y₂=4k
由中点坐标公式可得，

y1+y2

2

=2k=1
∴k＝

1

2

，直线AB的方程为x?1＝

1

2

(y?1)即2x-y-1=0
法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中点坐标公式可得，x₁+x₂=2
则

y12＝4x1 y22＝4x2

两式相减可得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂）
∴KAB＝

y2?y1

x2?x1

=

4

x1+x2

=2
∴直线AB的方程为y-1=2（x-1）即2x-y-1=0