Question

如何在圆周上取一点 使它到圆外两点距离的和最短

Answer 1

用解析法可证明以圆心和直线上两点的中点连线和圆相交点，即为距离和最短。

以圆心为原点建立直角坐标系。圆方程为x^2+y^2=r^2
设圆外直线为y=ax+b
直线上任意取两点（x1，ax1+b） (x2, ax2+b)
圆上任意取一点为 （m,n）
距离和D=√(（m-x1)^2+(n-ax1-b)^2)+√(（m-x2)^2+(n-ax2-b)^2)
将圆方程带入化简，为方便起见我们至讨论一象限内的情况。常数项化为R
D=√(R1-2(x1rcosθ+(ax1+b)rsinθ))+√(R2-2(x2cosθ+(ax2+b)rsinθ))
化简后可得

当m=r*(x2+x1)/√(x2+x1)^2+(y2+y1)^2 有极值
所以可求得过圆心和此点直线方程为y=(y1+y2)/(x1+x2) *x
和原直线
交点为( （x1+x2）/2, (y1+y2)/2 )

Answer 2

设圆O的半径为1，作OC⊥AB于C,交圆O于D.
以O为原点，OC为x轴建立直角坐标系，则D(1，0),设A(c,a),B(c,b),a<b,P(cosu,sinu),
f(u)=PA+PB=√[(cosu-c)^2+(sinu-a)^2]+√[(cosu-c)^2+(sinu-b)^2]
=√(1+c^2+a^2-2ccosu-2asinu)+√（1+c^2+b^2-2ccosu-2bsinu),
f'(u)=(csinu-acosu)/√(1+c^2+a^2-2ccosu-2asinu)+(csinu-bcosu)/√（1+c^2+b^2-2ccosu-2bsinu)=0,
∴（csinu-acosu)√（1+c^2+b^2-2ccosu-2bsinu)=(bcosu-csinu)√(1+c^2+a^2-2ccosu-2asinu),
平方得(csinu-acosu)^2*(1+c^2+b^2-2ccosu-2bsinu)
=(bcosu-csinu)^2*(1+c^2+a^2-2ccosu-2asinu),部分展开得
[c^2(sinu)^2-2acsinucosu+a^2(cosu)^2](1+c^2+b^2-2ccosu-2bsinu)
=[c^2(sinu)^2-2bcsinucosu+b^2(cosu)^2](1+c^2+a^2-2ccosu-2asinu),整理得
c^2(b^2-a^2)(sinu)^2-2c(a+ac^2+ab^2-b-bc^2-ba^2)sinucosu+(a^2+a^2c^2-b^2-b^2c^2)(cosu)^2
-2ccosu[2c(b-a)sinucosu+(a^2-b^2)(cosu)^2]-2sinu[c^2*(b-a)(sinu)^2+(a^2b-ab^2)(cosu)^2]=0,
两边都除以(b-a),得c^2(a+b)(sinu)^2+2c(1+c^2-ab)sinucosu-(a+b)(1+c^2)(cosu)^2
-2ccosu[2csinucosu-(a+b)(cosu)^2]-2sinu[c^2(sinu)^2-ab(cosu)^2]=0,①
①是关于sinu,cosu的3次方程，又含参数a,b,c，无法解。下面考虑特殊情形：b=-a时,①变为
2c(1+c^2+a^2)sinucosu-4c^2sinu(cosu)^2-2sinu[c^2(sinu)^2+a^2(cosu)^2]=0,
∴sinu=0,或c(1+c^2+a^2)cosu-（a^2+2c^2)(cosu)^2-c^2(sinu)^2=0,②
②仍无法解，可见，这是个颇有难度的题目，愿有兴趣的人继续研究.