求人教版高中数学A版全部公式大全
没时间看书了,想找个类似复习大纲的东西,要有高中三年理科数学全部考点、公式、定理、定义等,最好有简单推导...
没时间看书了,想找个类似复习大纲的东西,要有高中三年理科数学全部考点、公式、定理、定义等,最好有简单推导
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高考数学常用公式及结论200条(一)
湖北省黄石二中 杨志明
1.元素与集合的关系
,.
2.德摩根公式
.
3.包含关系
4.容斥原理
.
5.集合的子集个数共有 个;真子集有–1个;非空子集有 –1个;非空的真子集有–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式;
(2)顶点式;
(3)零点式.
7.解连不等式常有以下转化形式
.
8.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,具体如下:
(1)当a>0时,若,则;
,,.
(2)当a<0时,若,则,若,则,.
10.一元二次方程的实根分布
依据:若,则方程在区间内至少有一个实根 .
设,则
(1)方程在区间内有根的充要条件为或;
(2)方程在区间内有根的充要条件为或或或;
(3)方程在区间内有根的充要条件为或 .
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间的子区间(形如,,不同)上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.
(2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.
(3)恒成立的充要条件是或.
12.真值表
p
q
非p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
13.常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有个
至多有()个
小于
不小于
至多有个
至少有()个
对所有,
成立
存在某,
不成立
或
且
对任何,
不成立
存在某,
成立
且
或
14.四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题
若p则q 若q则p
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非p则非q 互逆 若非q则非p
15.充要条件
(1)充分条件:若,则是充分条件.
(2)必要条件:若,则是必要条件.
(3)充要条件:若,且,则是充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数;
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数.
17.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.
18.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
19.若函数是偶函数,则;若函数是偶函数,则.
20.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与 的图象关于直线对称.
21.若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数.
22.多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数的图象的对称性
(1)函数的图象关于直线对称
.
(2)函数的图象关于直线对称
.
24.两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)函数与函数的图象关于直线对称.
(3)函数和的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数的图象右移、上移个单位,得到函数的图象;若将曲线的图象右移、上移个单位,得到曲线的图象.
26.互为反函数的两个函数的关系
.
27.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是,而函数是的反函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数,.
(2)指数函数,.
(3)对数函数,.
(4)幂函数,.
(5)余弦函数,正弦函数,,
.
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
(1),则的周期T=a;
(2),
或,
或,
或,则的周期T=2a;
(3),则的周期T=3a;
(4)且,则的周期T=4a;
(5)
,则的周期T=5a;
(6),则的周期T=6a.
30.分数指数幂
(1)(,且).
(2)(,且).
31.根式的性质
(1).
(2)当为奇数时,;
当为偶数时,.
32.有理指数幂的运算性质
(1) .
(2) .
(3).
注: 若a>0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
.
34.对数的换底公式
(,且,,且, ).
推论 (,且,,且,, ).
35.对数的四则运算法则
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1);
(2) ;
(3).
36.设函数,记.若的定义域为,则,且;若的值域为,则,且.对于的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
若,,,,则函数
(1)当时,在和上为增函数.
, (2)当时,在和上为减函数.
推论:设,,,且,则
(1).
(2).
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为,则对于时间的总产值,有.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
( 数列的前n项的和为).
40.等差数列的通项公式
;
其前n项和公式为
.
41.等比数列的通项公式
;
其前n项的和公式为
或.
42.等比差数列:的通项公式为
;
其前n项和公式为
.
43.分期付款(按揭贷款)
每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).
44.常见三角不等式
(1)若,则.
(2) 若,则.
(3) .
45.同角三角函数的基本关系式
,=,.
46.正弦、余弦的诱导公式
47.和角与差角公式
;
;
.
(平方正弦公式);
.
=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).
48.二倍角公式
.
.
.
49. 三倍角公式
.
..
50.三角函数的周期公式
函数,x∈R及函数,x∈R(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期;函数,(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期.
51.正弦定理
.
52.余弦定理
;
;
.
53.面积定理
(1)(分别表示a、b、c边上的高).
(2).
(3).
54.三角形内角和定理
在△ABC中,有
.
55. 简单的三角方程的通解
.
.
.
特别地,有
.
.
.
56.最简单的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律:
(1) a·b= b·a(交换律);
(2)(a)·b= (a·b)=a·b= a·(b);
(3)(a+b)·c= a ·c +b·c.
59.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
60.向量平行的坐标表示
设a=,b=,且b0,则ab(b0).
53. a与b的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ.
61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
62.平面向量的坐标运算
(1)设a=,b=,则a+b=.
(2)设a=,b=,则a-b=.
(3)设A,B,则.
(4)设a=,则a=.
(5)设a=,b=,则a·b=.
63.两向量的夹角公式
(a=,b=).
64.平面两点间的距离公式
=
(A,B).
65.向量的平行与垂直
设a=,b=,且b0,则
A||bb=λa .
ab(a0)a·b=0.
66.线段的定比分公式
设,,是线段的分点,是实数,且,则
().
67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
68.点的平移公式
.
注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形上的对应点为,且的坐标为.
69.“按向量平移”的几个结论
(1)点按向量a=平移后得到点.
(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.
(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.
(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.
(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则
(1)为的外心.
(2)为的重心.
(3)为的垂心.
(4)为的内心.
(5)为的的旁心.
71.常用不等式:
(1)(当且仅当a=b时取“=”号).
(2)(当且仅当a=b时取“=”号).
(3)
(4)柯西不等式
(5).
72.极值定理
已知都是正数,则有
(1)若积是定值,则当时和有最小值;
(2)若和是定值,则当时积有最大值.
推广 已知,则有
(1)若积是定值,则当最大时,最大;
当最小时,最小.
(2)若和是定值,则当最大时, 最小;
当最小时, 最大.
73.一元二次不等式,如果与同号,则其解集在两根之外;如果与异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
;
.
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时,有.
或.
湖北省黄石二中 杨志明
1.元素与集合的关系
,.
2.德摩根公式
.
3.包含关系
4.容斥原理
.
5.集合的子集个数共有 个;真子集有–1个;非空子集有 –1个;非空的真子集有–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式;
(2)顶点式;
(3)零点式.
7.解连不等式常有以下转化形式
.
8.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.
9.闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,具体如下:
(1)当a>0时,若,则;
,,.
(2)当a<0时,若,则,若,则,.
10.一元二次方程的实根分布
依据:若,则方程在区间内至少有一个实根 .
设,则
(1)方程在区间内有根的充要条件为或;
(2)方程在区间内有根的充要条件为或或或;
(3)方程在区间内有根的充要条件为或 .
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间的子区间(形如,,不同)上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.
(2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.
(3)恒成立的充要条件是或.
12.真值表
p
q
非p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
13.常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有个
至多有()个
小于
不小于
至多有个
至少有()个
对所有,
成立
存在某,
不成立
或
且
对任何,
不成立
存在某,
成立
且
或
14.四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题
若p则q 若q则p
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非p则非q 互逆 若非q则非p
15.充要条件
(1)充分条件:若,则是充分条件.
(2)必要条件:若,则是必要条件.
(3)充要条件:若,且,则是充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数;
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数.
17.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.
18.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
19.若函数是偶函数,则;若函数是偶函数,则.
20.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与 的图象关于直线对称.
21.若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数.
22.多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数的图象的对称性
(1)函数的图象关于直线对称
.
(2)函数的图象关于直线对称
.
24.两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)函数与函数的图象关于直线对称.
(3)函数和的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数的图象右移、上移个单位,得到函数的图象;若将曲线的图象右移、上移个单位,得到曲线的图象.
26.互为反函数的两个函数的关系
.
27.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是,而函数是的反函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数,.
(2)指数函数,.
(3)对数函数,.
(4)幂函数,.
(5)余弦函数,正弦函数,,
.
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
(1),则的周期T=a;
(2),
或,
或,
或,则的周期T=2a;
(3),则的周期T=3a;
(4)且,则的周期T=4a;
(5)
,则的周期T=5a;
(6),则的周期T=6a.
30.分数指数幂
(1)(,且).
(2)(,且).
31.根式的性质
(1).
(2)当为奇数时,;
当为偶数时,.
32.有理指数幂的运算性质
(1) .
(2) .
(3).
注: 若a>0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
.
34.对数的换底公式
(,且,,且, ).
推论 (,且,,且,, ).
35.对数的四则运算法则
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1);
(2) ;
(3).
36.设函数,记.若的定义域为,则,且;若的值域为,则,且.对于的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
若,,,,则函数
(1)当时,在和上为增函数.
, (2)当时,在和上为减函数.
推论:设,,,且,则
(1).
(2).
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为,则对于时间的总产值,有.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
( 数列的前n项的和为).
40.等差数列的通项公式
;
其前n项和公式为
.
41.等比数列的通项公式
;
其前n项的和公式为
或.
42.等比差数列:的通项公式为
;
其前n项和公式为
.
43.分期付款(按揭贷款)
每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).
44.常见三角不等式
(1)若,则.
(2) 若,则.
(3) .
45.同角三角函数的基本关系式
,=,.
46.正弦、余弦的诱导公式
47.和角与差角公式
;
;
.
(平方正弦公式);
.
=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).
48.二倍角公式
.
.
.
49. 三倍角公式
.
..
50.三角函数的周期公式
函数,x∈R及函数,x∈R(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期;函数,(A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期.
51.正弦定理
.
52.余弦定理
;
;
.
53.面积定理
(1)(分别表示a、b、c边上的高).
(2).
(3).
54.三角形内角和定理
在△ABC中,有
.
55. 简单的三角方程的通解
.
.
.
特别地,有
.
.
.
56.最简单的三角不等式及其解集
.
.
.
.
.
.
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律:
(1) a·b= b·a(交换律);
(2)(a)·b= (a·b)=a·b= a·(b);
(3)(a+b)·c= a ·c +b·c.
59.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
60.向量平行的坐标表示
设a=,b=,且b0,则ab(b0).
53. a与b的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ.
61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
62.平面向量的坐标运算
(1)设a=,b=,则a+b=.
(2)设a=,b=,则a-b=.
(3)设A,B,则.
(4)设a=,则a=.
(5)设a=,b=,则a·b=.
63.两向量的夹角公式
(a=,b=).
64.平面两点间的距离公式
=
(A,B).
65.向量的平行与垂直
设a=,b=,且b0,则
A||bb=λa .
ab(a0)a·b=0.
66.线段的定比分公式
设,,是线段的分点,是实数,且,则
().
67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
68.点的平移公式
.
注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形上的对应点为,且的坐标为.
69.“按向量平移”的几个结论
(1)点按向量a=平移后得到点.
(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.
(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.
(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.
(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设为所在平面上一点,角所对边长分别为,则
(1)为的外心.
(2)为的重心.
(3)为的垂心.
(4)为的内心.
(5)为的的旁心.
71.常用不等式:
(1)(当且仅当a=b时取“=”号).
(2)(当且仅当a=b时取“=”号).
(3)
(4)柯西不等式
(5).
72.极值定理
已知都是正数,则有
(1)若积是定值,则当时和有最小值;
(2)若和是定值,则当时积有最大值.
推广 已知,则有
(1)若积是定值,则当最大时,最大;
当最小时,最小.
(2)若和是定值,则当最大时, 最小;
当最小时, 最大.
73.一元二次不等式,如果与同号,则其解集在两根之外;如果与异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
;
.
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时,有.
或.
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