Question

线性代数 设A为正交阵，且detA=-1.证明-1是A的特征值

Answer 1

A正交，则A的特征值的模是1又detA=－1=所有特征值的乘积，共轭复特征值成对出现所以必有特征值是－1。

方阵A为正交阵的充分必要条件是A的行向量或列向量是标准正交向量。

正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

扩展资料：

方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基。

在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。

如果不管维度，总是有可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类的，但是对于3×3矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。

例如，表示通过原点的反演和关于z轴的旋转反演（逆时针旋转90°后针对x-y平面反射，或逆时针旋转270°后对原点反演）。旋转也变得更加复杂；它们不再由一个角来刻画，并可能影响多于一个平面子空间。

参考资料来源：百度百科——正交矩阵

Answer 2

设A的特征值为λ，有Aα = λα (α≠0)，(A^T)A=E
等式左边乘于A的转置A^T，右边乘于α ^T，得α(α ^T) = λ(A^T)α(α ^T)，取行列式得：
|α(α ^T)| = λ |(A^T)| |α(α ^T)|，又|A^T|=detA=-1，故λ=-1
即：题干条件下，A的特征值有且仅有-1

Answer 3

1. 正交矩阵的特征值只能是1或者-1；

2. 矩阵A的行列式值|A|是A的特征值的乘积。

   根据以上两点正交矩阵的特征值的乘积是-1，所以不能全部都是1，从而-1是A的特征值。

Answer 4

A正交，则A的特征值的模是1又detA=－1=所有特征值的乘积，共轭复特征值成对出现所以必有特征值是－1

追问

能写下证明过程吗？^ω^

追答

追问

为什么A的转置等于A?

追答