Question

设a为实数，函数f（x）=x 2 +|x-a|+1，x∈R．（Ⅰ）若f（x）是偶函数，试求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件

设a为实数，函数f（x）=x 2 +|x-a|+1，x∈R．（Ⅰ）若f（x）是偶函数，试求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）的最小值；（Ⅲ）王小平同学认为：无论a取何实数，函数f（x）都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立， 即（-x） 2 +|-x-a|+1=x 2 +|x-a|+1， 化简整理，得ax=0在R上恒成立，∴a=0． （Ⅱ）由（Ⅰ）知a=0，∴f（x）=x 2 +|x|+1， ∵x 2 ≥0，|x|≥0，∴f（x）≥1，当且仅当x=0时，f（x）=1， ∴当x=0时，f（x）的最小值为1． （Ⅲ）王小平同学的观点是正确的． 若f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x）在R上恒成立， ∴f（0）=-f（0），∴f（0）=0， 但无论a取何实数，f（0）=|a|+1＞0， ∴f（x）不可能是奇函数．