Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴． （1）求该抛物线的解析式．（2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．

Answer 1

(1) y=x 2 -4x+3；(2) y= x+ 或y＝? x? ；(3) （2，1.5），（2，-1.5），（2，-6），（2，6）．

试题分析：（1）根据函数图象过x轴上两点M（1，0）和N（3，0），设出函数两点式，将D（0，3）代入解析式，求出a的值，即可求出函数解析式； （2）根据过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，再由AC=3，BC=4，求出B点坐标，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （3）设⊙P与AB相切于点Q，与x轴相切于点C；证出△ABC∽△PBQ，得到 ，求出PC的长，即可求出P点坐标． 试题解析:（1）∵抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3）， ∴假设二次函数解析式为：y=a（x-1）（x-3）， 将D（0，3），代入y=a（x-1）（x-3）， 得：3=3a，∴a=1， ∴抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3）=x 2 -4x+3； （2）∵过点A（-1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6， ∴ AC×BC=6， ∵抛物线y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点， ∴二次函数对称轴为x=2， ∴AC=3， ∴BC=4， ∴B点坐标为：（2，4）或（2，-4）， 一次函数解析式为；y=kx+b，当点B为（2，4）时， ∴ ，解得：  ， ∴y= x+ ； 当点B为（2，-4）时， ，解得 ， ∴y＝? x? ， ∴直线AB的解析式为：y= x+ 或y＝? x? ； （3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切， 设⊙P与AB相切于点Q，与x轴相切于点C； ∴PQ⊥AB，AQ=AC，PQ=PC， ∵AC=1+2=3，BC=4， ∴AB=5，AQ=3， ∴BQ=2， ∵∠QBP=∠ABC， ∠BQP=∠ACB， ∴△ABC∽△PBQ， ∴ ， ∴ ， ∴PC=1.5， P点坐标为：（2，1.5）， 同理可得（2，-1.5），（2，-6），（2，6）． 考点: 二次函数综合题.