Question

已知抛物线C:y^2=2px(p>0)的焦点为F,点Q(-3,2),抛物线上动点P到点Q的距离与到准线距离之和最小值2根号3

1抛物线方程（y^2=4x)
2,若直线l:y=kx+2(k>0)与抛物线C交于MN两点，与X轴交于点A，H为MN中点，点D在X轴上，记以DM，DN为邻边的菱形面积为S1，三角形AHD的面积为S2，求S1/（(2-k)S2)的取值范围。

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Answer 1

原题是:已知抛物线C:y^2=2px(p>0)的焦点为F,点Q(-3,2),抛物线上动点P到点Q的距离与到准线距离之和最小值2√5.
(1)求抛物线方程（y^2=4x)
(2)若直线l:y=kx+2(k>0)与抛物线C交于M、N两点,与X轴交于点A，H为MN中点，点D在X轴上，记以DM，DN为邻边的菱形面积为S1，△AHD的面积为S2，求S1/((2-k)S2)的取值范围。

解:(1)F(p/2,0)
动点P到点Q的距离与到准线距离之和的最小值就是|PQ|
由|PQ|^2=(-3-p/2)^2+(2-0)^2=(2√5) (p>0)
解得 p=2
所以求抛物线方程是 y^2=4x

(2)S1=2*(1/2)|MN||DH|=|MN||DH|
S2=(1/2)|AH||DH|
S1/((2-k)S2)=2/(2-k)*(|MN|/|AH|) (1)

设M(x1,y1),N(x2,y2),H(x0,y0)
由y=kx+2(k>0) 且 y^2=4x 消去x并化简得

ky^2-4y+8=0
当△=16-32k>0 即0<k<1/2时

y0=(y1+y2)/2=2/k
|y1-y2|=(√△)/|k|=(4/k)√(1-2k)

(|MN|/|AH|)=|y1-y2)/|y0-0| (用纵坐标差比的绝对值表示长度比)

=((4/k)√(1-2k))/(2/k)
=2√(1-2k)

将其代入(1)
S1/((2-k)S2)=(2/(2-k))*2√(1-2k)
=(4√(1-2k))/(2-k) (0<k<1/2,设m=√(1-2k))
=8m/(m^2+3) (0<m<1)
=8/(m+3/m)

由m+3/m在(0,1)区间上单减得在其上的值域是(4,+∞)
则在(0,1)区间上8/(m+3/m)的值域是(0,2)

所以S1/((2-k)S2)的取值范围是(0,2).

希望能帮到你！