Question

设a为实数，函数f（x）=x2+|x-a|-1，x∈R （1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值

设a为实数，函数f（x）=x2+|x-a|-1，x∈R （1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

（1）当a=0时，函数f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x），此时，f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a），
此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）①当x≤a时，f（x）=x²+|x-a|-1=x²-x+a-1=（x-

1

2

）²+a-

5

4

，
当a≤

1

2

时，函数f（x）在（-∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a²-1．
若a＞

1

2

，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（

1

2

）=a-

5

4

．
②当x≥a时，函数f（x）=x²+|x-a|-1=x²+x-a-1=（x+

1

2

）²-a-

5

4

，
若a≤-

1

2

时，则函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（-

1

2

）=-a-

5

4

．
若a＞-

1

2

，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a²-1．
综上，当a≤-

1

2

时，函数f（x）的最小值为-a-

5

4

，
-

1

2

＜a≤

1

2

时，函数f（x）的最小值为a²-1，
当a＞

1

2

时，函数f（x）的最小值为a-

5

4

．