Question

已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为3，实轴长为2．（1）求双曲线C的方程； （2）若直线

已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为3，实轴长为2．（1）求双曲线C的方程； （2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为42，求m的值．

Answer 1

（1）由离心率为

3

，实轴长为2．
∴

c

a

＝

3

，2a=2，解得a=1，c＝

3

，
∴b²=c²-a²=2，
∴所求双曲线C的方程为x2?

y2

2

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y＝x+m x2? y2 2 ＝1

?x2?2mx?m2?2＝0，
△＞0，化为m²+1＞0．
∴x₁+x₂=2m，x1x2＝?m2?2．
∴|AB|=

2[(x1+x2)2?4x1x2]

=

2[4m2+4(m2+2)]

=4

2

，
化为m²=1，
解得m=±1．