Question

初三数学题，要详细过程

如图，△ABC是边长为12的等边三角形，点P是三角形内的一点，过P分别作边BC，CA，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.已知PD:PE:PF=1:2:3,那么四边形BDPF的面积是 .

Answer 1

此题虽然啰嗦但不应该算难，说一下我的思路请自行理解。延长DP到G,使GE平行CD，易知三角形PEG为直角三角形，角PEG=30°，所以PG=PD，设PD=a，则PE=2a，根据勾股定理可知GE=根号3a；过P点做PH平行CD交AC于H，可知PH是梯形CDGE的中位线。而EH=1/2PH，再根据勾股定理PH平方-EH平方=PE平方，即PH平方-1/4PH平方=4a的平方，求得PH=4根号3a/3，然后根据中位线的长度等于上下两底和得一半可以求出CD=3分之5倍的根号3a。同样道理，根据PF=3a再用同样的方法证明BD=2分之5倍的根号3a。则CD:BD=2:3，因为BC=12，求得BD=7.2。以下可以求出a=0.96倍的根号3，就可以求出四边形的面积了。

追问

为啥PG=PD呢？

Answer 2

过点P作GH//AB交AC於G交BC於H,KM // BC 交 AB於K 交AC於M,NO// AC 交AB於O,交BC於N.
则 ∠OKP = ∠GPM = ∠ PHN = ∠ABC = 60°
∠KOP = ∠PGM = ∠ HPN = ∠BAC = 60°
∴ ΔOKP ∽ ΔGPM ∽ ΔPHN ∽ ΔABC
AO : OK : KB = PE : PF : PD = 2 : 3 : 1 , 且 AO + OK + KB = AB =12
∴ OK = 12*3/(2+3+1) = 6 , KB = 2 , PD = 2cos30 =√3 , PF = 3√3
四边形BDPF的面积 = S平行四边形BKPH + SΔOKP /2 + SΔPHD /2
= 6 * √3 + 3√3 * 6 / 4 + √3 * 2 / 4 = 6√3 + 4.5√3 +0.5√3 = 11√3