Question

Ax=0与Bx=0同解的充要条件是: r(A) = r(B) = r(A ; B) (A,B上下放置) 为什么要有r(A ; B)？

A,B同型，秩相等，他们就等价啊。若Ax=0是Bx=0的解，则Ax=0基础解系是Bx=0基础解析的部分组，因此n-r（A）<=n-r（B），得到r（A）>=r（B）；同理若若Bx=0是Ax=0的解，则r（A）<=r（B）；Ax=0与Bx=0同解，因此r（A）=r（B）。请老师完整说明一下r(A ; B)这个条件的充分性和必要性。

Answer 1

Ax=0与Bx=0同解，因此r（A）=r（B）

这没问题
此时 Ax=0与Bx=0 与 (A;B)x=0 也同解, 所以 三个秩相同 r(A) = r(B) = r(A ; B)

反之,
首先 (A;B)x=0 的解 是 Ax=0 的解
由 r(A) = r(A ; B) 知 它们的基础解系所含向量个数相同, 进而同解

同样 由 r(B) = r(A ; B) 时 (A;B)x=0 的解 与 Bx=0 同解