Question

如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分 ∠DAB，延长AB交DC于

如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分 ∠DAB，延长AB交DC于点E．（1）判定直线DE与圆O的位置关系，并说明你的理由；（2）求证：AC 2 =AD?AB；（3）以下两个问题任选一题作答．（若两个问题都答，则以第一问的解答评分）①若CF⊥AB于点F，试讨论线段CF、CE和DE三者的数量关系；②若EC=5 3 ，EB=5，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）DE是⊙O的切线．（1分） 连接OC，（2分） ∵OA、OC是⊙O的半径， ∴∠OAC=∠OCA． ∵AC是∠DAB的平分线， ∴∠OAC=∠CAD． ∴∠OCA=∠CAD． ∴OC ∥ AD． ∵AD⊥DE， ∴OC⊥DE． 故DE是⊙O的切线．（4分） （2）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°．（5分） ∵AD⊥DE，∠ADC=90°， ∴∠ACB=∠ADC． ∵∠DAC=∠CAB， ∴△DAC ∽ △CAB． ∴AC 2 =AD?AB．（7分） （3）①CF+CE=DE．（8分） ∵AC是∠DAB的平分线，且CD⊥AD、CF⊥AF， ∴CF=CD． ∵DC+CE=DE， ∴CF+CE=DE．（10分） ②∵DE是⊙O的切线， ∴∠BCE=∠CAB． ∵∠CEB=∠CEB， ∴△BCE ∽ △CAE． ∴ BC CA = CE AE = BE CE ．（8分） ∴AE=15，AB=10， BC CA = 1 3 ，即CA= 3 BC． 则在Rt△ABC中，由CA 2 +BC 2 =AB 2 解得： BC=5，CA=5 3 ． ∴S △ABC = 25 2 3 ． ∴阴影部分的面积=半圆的面积-S △ABC = 25(π- 3 ) 2 ．（10分）