Question

已知函数f（x）＝a^x－1／a^x＋1 （a＞1） ⑴判断函数f（x）的奇偶性； ⑵证

已知函数f（x）＝a^x－1／a^x＋1 （a＞1）
⑴判断函数f（x）的奇偶性；
⑵证明f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数。

Answer 1

f（x）＝(a^x－1)／(a^x＋1) （a＞1）
f(-x) = {a^(-x)－}／{a^(-x)＋1} =(1-a^x)/(1+a^x) = -(a^x－1)／(a^x＋1) = -f(x)
奇函数

⑵
令m＜n
f(n)-f(m) = (a^n－1)／(a^n＋1) - (a^m－1)／(a^m＋1)
= {(a^n－1)(a^m＋1) - (a^m－1)(a^n＋1)} ／{(a^m＋1)(a^n＋1) }
= {[a^(m+n)－a^m＋a^n-1] - [a^(m+n)+a^m-a^n－1] } ／{(a^m＋1)(a^n＋1) }
= 2(a^n- a^m) ／{(a^m＋1)(a^n＋1) }
∵a＞1，n＞m
∴a^n＞a^m
∴分子2(a^n- a^m)＞0
又：分母{(a^m＋1)(a^n＋1) }＞0
∴f(n)-f(m) ＞0
∴在（－∞，＋∞）增函数。