Question

已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D为BC边上一点． （1）求证：△ACE≌△ABD；

已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D为BC边上一点． （1）求证：△ACE≌△ABD；（2）若AC=2 ，CD=1，求ED的长．

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Answer 1

（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=90°，AB=AE，∠CAE=90°，再根据同角的余角相等可得∠1=∠2，即可证得结论；（2）

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=90°，AB=AE，∠CAE=90°，再根据同角的余角相等可得∠1=∠2，即可证得结论； （2）在△ABC中，根据∠B的正弦函数求得BC的长，即可得到BD的长，根据等腰直角三角形的性质可得∠4=∠B=45°，由△ACE≌△ABD可得∠5=∠B=45°，EC=DB=3，即可得到△ECD是直角三角形，最后根据勾股定理求解即可. （1）∵△ABC是等腰直角三角形 ∴AB=AC，∠BAC=90° 同理AB=AE，∠CAE=90° ∵∠BAC=∠CAE=90° ∴∠1+∠3=∠2+∠3=90° ∴∠1=∠2 ∴△ACE≌△ABD（SAS） （2）在△ABC中 BC= ∴BD=BC－CD=4－1=3 ∵△ABC是等腰直角三角形 ∴∠4=∠B=45° ∵△ACE≌△ABD ∴∠5=∠B=45°，EC=DB=3 ∵∠ECD=∠4+∠5=90° ∴△ECD是直角三角形 ∴ED . 点评：全等三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.