Question

已知抛物线x 2 =2py（p＞0）的焦点为F，顶点为O，准线为l，过该抛物线上异于顶点O的任意一点A作AA 1 ⊥l

已知抛物线x 2 =2py（p＞0）的焦点为F，顶点为O，准线为l，过该抛物线上异于顶点O的任意一点A作AA 1 ⊥l于点A 1 ，以线段AF，AA 1 为邻边作平行四边形AFCA 1 ，连接直线AC交l于点D，延长AF交抛物线于另一点B．若△AOB的面积为S △AOB ，△ABD的面积为S △ABD ，则 ( S △AOB ) 2 S △ABD 的最大值为______．

Answer 1

由题意， ( S △AOB ) 2 S △ABD 的最大值，一定在特殊位置取得，即AB⊥x轴， 此时S △AOB = 1 2 ? p 2 ?2p = 1 2 p 2 ， S △ABD = 1 2 ?p?2p =p 2 ， ∴ ( S △AOB ) 2 S △ABD 的最大值为 1 4 p 4 p 2 = p 2 4 ． 故答案为： p 2 4 ．