Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD= ，点E在PD上，且PE：ED=2：1。

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD= ，点E在PD上，且PE：ED=2：1。 （1）证明PA⊥平面ABCD；（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；（3）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论。

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Answer 1

解：（1）证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中，由PA 2 +AB 2 =2a 2 =PB 2 ，知PA⊥AB 同理，PA⊥AD， 所以PA⊥平面ABCD。
（2）作EG//PA交AD于G， 由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD 作GH⊥AC于H，连结EH， 则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角 又PE：ED=2：1， 所以 从而 ， 。
（3）当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下， 取PE的中点M，连结FM，则FM//CE ① 由 知E是MD的中点 连结BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点 所以BM//OE ② 由①、②知，平面BFM//平面AEC 又BF 平面BFM， 所以BF//平面AEC。